近期，南方科技大学理学院数学系/深圳国际数学中心吴开亮副教授与美国布朗大学舒其望教授在偏微分方程的保界数值方法研究中取得重要进展，在应用数学领域学术期刊SIAM Review的Research Spotlight版块上以“Geometric Quasilinearization Framework for Analysis and Design of Bound-Preserving Schemes”为题发表研究论文。

许多偏微分方程的解需要满足某些有界性或正性等物理约束，数值方法若违背这些约束，则可能会导致结果错误或计算失败。因此，研究保界/保物理约束的数值方法对于确保算法的稳定性和模拟结果的可靠性至关重要，是计算数学领域的前沿热点问题。然而，分析和设计含非线性约束的保界算法是许多偏微分方程数值研究中的共性难题，缺乏有效的数学理论工具。

吴开亮与合作者长期致力于高精度保结构数值方法的研究，在可压缩磁流体和相对论流体力学方程组的保界/保物理约束数值方法方面取得了一系列的重要成果。在多年的研究中，吴开亮与合作者发明了一种有效处理非线性约束的拟线性化技术，首次揭示了可压缩磁流体数值方法的保界/保正性与磁场零散度条件之间的深层联系，解决了该方向的长期公开问题。

在最新研究中，他们基于几何上的创新视角，系统构建了“用辅助变量换取线性”的几何拟线性化（Geometric Quasilinearization，简称GQL）框架，为研究含非线性约束的复杂保界问题开辟了新途径。GQL的基本思想是通过引入“自由辅助变量”，将所有非线性约束等价地转化为线性约束。利用凸区域的几何性质，他们建立了GQL的基本原理和一般理论，并提出了三种简单有效的GQL构造方法。他们将GQL方法应用于各类含非线性约束的偏微分方程组，展现了GQL方法的有效性和优势。GQL方法揭示了一个重要的数学规律：形成凸集的非线性约束，从更高的维度来看，本质上是线性的。

吴开亮为论文第一作者，美国布朗大学应用数学系讲席教授舒其望为论文通讯作者。南方科技大学数学系、国际数学中心为论文第一署名单位。该研究得到了国家自然科学基金的支持。

论文链接：https://epubs.siam.org/doi/10.1137/21M1458247